发布日期：2024-10-08 12:48 点击次数：118
陶哲轩和赵宇飞的学生联手勾引，给数学界整了个新惊喜：
让组合数学范围最浩劫题之一 —— 从无序中证明有序，取得了 23 年来的紧要冲突。
这个问题有多难？
用闻明华侨数学家、MIT 副教师赵宇飞本东说念主的话说，是“我不会建议任何学生去作念这个课题”。
专门想的是，这以致如故个“不测”成绩：
陶哲轩弟子、刚上筹商生二年龄的 James Leng（以下简称小冷）底本试图延续另一位菲尔兹奖得主 —— 蒂莫西・高尔斯的表面筹商。
但搞了一年多，他着实是“一无所获”。
就在一筹莫展之时，他遇上了赵宇飞的两位天才学生 —— 本科时代就联手发了十几篇论文的 Ashwin Sah（以下简称小萨）和 Mehtaab Sawhney（以下简称索哥）。
三东说念主一见面，顿时灵光乍现：小冷这筹商想路用到塞迈雷迪定理上，那说不定真能整出点新进展。
几个月后，都还在攻读博士学位的三个年青东说念主果真作念到了 ——
23 年头度冲突组合数学珍摄小冷、小萨和索哥的这项筹商，是组合数学范围的一浩劫题，是对塞迈雷迪定理的进一步筹商。
塞迈雷迪定原理 2012 年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪・安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利东说念主的习尚是姓前名后）于 1975 年证明，其中说到：
若一个整数集 A 具有正的当然密度，则对汗漫的正整数 k，都不错在 A 中找出一个包含 k 项的等差数列。
所谓具有刚直然密度，等于当 n 趋于无尽时，A 与 1，2，…，n 这个数列的交相聚元素个数与 n 的比值大于 0。
相比著明的反例等于 2，4，8… 这么的等比数列，它们被觉得在数轴上“过于寥落”，不具备刚直然数密度。
这个表面的揣摸由两名匈牙利数学家埃尔德什・帕尔（Erdős Pál）和图兰・帕尔（Turán Pál）在 1936 年建议。
昭彰关于 k=1 和 2 的情况，这个论断毫无疑问是建立的，k=3 的情况则在 1953 年由英国数学家克劳斯・罗特证明。
到了 1969 年，塞迈雷迪用组合数学关键证明了 k=4 的情况，直到最终证明该论断对汗漫 k 均建立。
自后，又稀有学家利用遍历表面、傅里叶分析等其他关键证明了这一论断。
这也让陶哲轩为之咨嗟，还把该定理的广博证明称为“罗塞塔石碑”，因为它们结合了几个乍看起来实足不同的数学分支。
但总之，塞迈雷迪定理的证明并不是一个畸形，而且还开启了新的霸术。
塞迈雷迪定理还有另一种表述面目 ——
若在正整数 1-N 中取一个子集勾引，使得关于某一 k 值，在该子相聚找不到长度为 k 的等差数列；
则当 N 趋近于无尽时，该子集的大小 r_k (N) 与 N 的比值趋近于 0。
不外这个比值趋近于 0 的速率究竟是若何的，仍然是一个未知数，也就成了后续这几十年的筹商课题。
前边提到，有东说念主用傅里叶分析关键给出了塞迈雷迪定理的新证明，这个东说念主等于 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西・高尔斯（Timothy Gowers）。
更迫切的是，高尔斯同期给出了 r_k (N) 与 N 比值的上界，即该比值下落的速率不会慢于某个特定的函数。
这个函数长这么：
而后的 20 多年来，不休有东说念主针对具体 k 值，对 r (N) 的范围给出了更精准的上界。
比如在 2017 年，陶哲轩和英国数学家本・格林（Ben Green）整个给出了 k=4 时的新上界。
然而，对 k 取汗漫值的情况一直未有新的进展，直到此次筹商的出现。
2022 年，正在加州大学洛杉矶分校（UCLA）读研二的小冷启动筹商起了高尔斯的表面。
不外他脑海里的是高尔斯建议的几个技能问题，并莫得预见塞迈雷迪定理。
一年很快畴昔，小冷莫得得到任何效果，但他的筹商引起了小萨和索哥的着重。他们订立到，小冷的筹商可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。
于是三位年青的数学家走到了整个，并在几个月之内就想出了 k=5 时更精准的上界。
直到本年，三东说念主又把这一论断实行到了 k 为汗漫取值的情况，成为了 23 年以来在这个问题上最紧要的冲突。
证明的中枢在于应用了高尔斯 U^(k+1) 范数的逆定理，这是一个与傅里叶分析有关的高等器用，它提供了一种权衡函数在某种真谛上接近于零的关键。
该逆定理亦然由三东说念主发现的，用了足足 100 页的论文进行证明。
其中指出，要是一个函数在范数真谛上有余大，那么它势必与某些具有特定结构的序列有关联，这些序列在数学上被称为“结构性对象”。
利用这个逆定理，作家们将问题从原始的整数聚合，升沉到了具有特定代数结构的 nilmanifolds 流形上。
通过深远分析这些流形上的 nil 序列，作家们竣事了对这些序列在整数聚合上变化的阻挡。
然后，他们通过对聚合进行领会并诳骗密度增量政策，从容增多不包含 k 项等差数列的子集密度，直到达到某一阈值或无法连接增多。
经过迭代这个经由，作家们证明了存在一个有余大的子集，其密度远高于之前的收尾，竣事了 k=5 时论断向着更高 k 值的实行。
陶哲轩赵宇飞的天才学生们三位作家中，小冷（James Leng）当今就读于加州大学洛杉矶分校（UCLA），师从菲尔兹奖得主陶哲轩。
他的主要筹商标的是算术组合学、能源系统和傅里叶分析。
而小萨（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是 MIT 副教师赵宇飞的学生。
小萨其东说念主，不成谓不是一位“天才少年”。
他是 2016 年海外奥林匹克数学竞赛（IMO）金牌得主，2018 年还赢得过首届阿里巴巴大家数学竞赛银奖。
刚上大一，小萨就跑去听了赵宇飞筹商生级别的组合数学课。这马上引起了赵宇飞的着重：
尽管他仅仅大一的学生，但很昭彰，他也曾掌合手了这门课程。
就在本科时代，小萨也曾有 20 多篇数学论文在手 —— 而况他只用了两年半时候就从 MIT 本科毕业了。
其中，还包括在拉姆皆数方面的紧要冲突：给出了拉姆皆数的新上限，被觉得是“使用现存筹商印迹不错赢得的最好收尾”。
索哥（Mehtaab Sawhney）比小萨高一年龄，他相同在本科时代就参与了赵宇飞的组合数学课程。
打从本科起，索哥和小萨等于互相的科研搭子，预计密切到索哥主页列出的 70 篇论文里，有 60 篇都带小萨的名字。
而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价等于：
（MIT）的本科生筹商有着悠久的历史和传统，但在论文的质地和数目上，都够不上 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。
当今，索哥也曾领先博士毕业，赢得了哥伦比亚大学的教职，还在本年年头被任命为克莱筹商员。
两位知友的协作仍在连接，这也令外界感到期待。他们的导师赵宇飞是这么说的：
他们的特出之处在于总能成见极具技能挑战的事物并加以校阅。
很难用说话轮廓他们的举座树立。
参考勾通：
[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995
[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemerédi's_theorem
本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作家：克雷西、鱼羊，原标题《陶哲轩赵宇飞学生联手攻下组合数学珍摄，23 年来初度冲突》
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