发布日期:2024-10-08 12:48 点击次数:117
陶哲轩和赵宇飞的学生联手勾引,给数学界整了个新惊喜:
让组合数学范围最浩劫题之一 —— 从无序中证明有序,取得了 23 年来的紧要冲突。
这个问题有多难?
用闻明华侨数学家、MIT 副教师赵宇飞本东说念主的话说,是“我不会建议任何学生去作念这个课题”。
专门想的是,这以致如故个“不测”成绩:
陶哲轩弟子、刚上筹商生二年龄的 James Leng(以下简称小冷)底本试图延续另一位菲尔兹奖得主 —— 蒂莫西・高尔斯的表面筹商。
但搞了一年多,他着实是“一无所获”。
就在一筹莫展之时,他遇上了赵宇飞的两位天才学生 —— 本科时代就联手发了十几篇论文的 Ashwin Sah(以下简称小萨)和 Mehtaab Sawhney(以下简称索哥)。
三东说念主一见面,顿时灵光乍现:小冷这筹商想路用到塞迈雷迪定理上,那说不定真能整出点新进展。
几个月后,都还在攻读博士学位的三个年青东说念主果真作念到了 ——
23 年头度冲突组合数学珍摄小冷、小萨和索哥的这项筹商,是组合数学范围的一浩劫题,是对塞迈雷迪定理的进一步筹商。
塞迈雷迪定原理 2012 年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪・安德烈(Szemerédi Endre,注:匈牙利东说念主的习尚是姓前名后)于 1975 年证明,其中说到:
若一个整数集 A 具有正的当然密度,则对汗漫的正整数 k,都不错在 A 中找出一个包含 k 项的等差数列。
所谓具有刚直然密度,等于当 n 趋于无尽时,A 与 1,2,…,n 这个数列的交相聚元素个数与 n 的比值大于 0。
相比著明的反例等于 2,4,8… 这么的等比数列,它们被觉得在数轴上“过于寥落”,不具备刚直然数密度。
这个表面的揣摸由两名匈牙利数学家埃尔德什・帕尔(Erdős Pál)和图兰・帕尔(Turán Pál)在 1936 年建议。
昭彰关于 k=1 和 2 的情况,这个论断毫无疑问是建立的,k=3 的情况则在 1953 年由英国数学家克劳斯・罗特证明。
到了 1969 年,塞迈雷迪用组合数学关键证明了 k=4 的情况,直到最终证明该论断对汗漫 k 均建立。
自后,又稀有学家利用遍历表面、傅里叶分析等其他关键证明了这一论断。
这也让陶哲轩为之咨嗟,还把该定理的广博证明称为“罗塞塔石碑”,因为它们结合了几个乍看起来实足不同的数学分支。
但总之,塞迈雷迪定理的证明并不是一个畸形,而且还开启了新的霸术。
塞迈雷迪定理还有另一种表述面目 ——
若在正整数 1-N 中取一个子集勾引,使得关于某一 k 值,在该子相聚找不到长度为 k 的等差数列;
则当 N 趋近于无尽时,该子集的大小 r_k (N) 与 N 的比值趋近于 0。
不外这个比值趋近于 0 的速率究竟是若何的,仍然是一个未知数,也就成了后续这几十年的筹商课题。
前边提到,有东说念主用傅里叶分析关键给出了塞迈雷迪定理的新证明,这个东说念主等于 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西・高尔斯(Timothy Gowers)。
更迫切的是,高尔斯同期给出了 r_k (N) 与 N 比值的上界,即该比值下落的速率不会慢于某个特定的函数。
这个函数长这么:
而后的 20 多年来,不休有东说念主针对具体 k 值,对 r (N) 的范围给出了更精准的上界。
比如在 2017 年,陶哲轩和英国数学家本・格林(Ben Green)整个给出了 k=4 时的新上界。
然而,对 k 取汗漫值的情况一直未有新的进展,直到此次筹商的出现。
2022 年,正在加州大学洛杉矶分校(UCLA)读研二的小冷启动筹商起了高尔斯的表面。
不外他脑海里的是高尔斯建议的几个技能问题,并莫得预见塞迈雷迪定理。
一年很快畴昔,小冷莫得得到任何效果,但他的筹商引起了小萨和索哥的着重。他们订立到,小冷的筹商可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。
于是三位年青的数学家走到了整个,并在几个月之内就想出了 k=5 时更精准的上界。
直到本年,三东说念主又把这一论断实行到了 k 为汗漫取值的情况,成为了 23 年以来在这个问题上最紧要的冲突。
证明的中枢在于应用了高尔斯 U^(k+1) 范数的逆定理,这是一个与傅里叶分析有关的高等器用,它提供了一种权衡函数在某种真谛上接近于零的关键。
该逆定理亦然由三东说念主发现的,用了足足 100 页的论文进行证明。
其中指出,要是一个函数在范数真谛上有余大,那么它势必与某些具有特定结构的序列有关联,这些序列在数学上被称为“结构性对象”。
利用这个逆定理,作家们将问题从原始的整数聚合,升沉到了具有特定代数结构的 nilmanifolds 流形上。
通过深远分析这些流形上的 nil 序列,作家们竣事了对这些序列在整数聚合上变化的阻挡。
然后,他们通过对聚合进行领会并诳骗密度增量政策,从容增多不包含 k 项等差数列的子集密度,直到达到某一阈值或无法连接增多。
经过迭代这个经由,作家们证明了存在一个有余大的子集,其密度远高于之前的收尾,竣事了 k=5 时论断向着更高 k 值的实行。
陶哲轩赵宇飞的天才学生们三位作家中,小冷(James Leng)当今就读于加州大学洛杉矶分校(UCLA),师从菲尔兹奖得主陶哲轩。
他的主要筹商标的是算术组合学、能源系统和傅里叶分析。
而小萨(Ashwin Sah)和索哥(Mehtaab Sawhney)都是 MIT 副教师赵宇飞的学生。
小萨其东说念主,不成谓不是一位“天才少年”。
他是 2016 年海外奥林匹克数学竞赛(IMO)金牌得主,2018 年还赢得过首届阿里巴巴大家数学竞赛银奖。
刚上大一,小萨就跑去听了赵宇飞筹商生级别的组合数学课。这马上引起了赵宇飞的着重:
尽管他仅仅大一的学生,但很昭彰,他也曾掌合手了这门课程。
就在本科时代,小萨也曾有 20 多篇数学论文在手 —— 而况他只用了两年半时候就从 MIT 本科毕业了。
其中,还包括在拉姆皆数方面的紧要冲突:给出了拉姆皆数的新上限,被觉得是“使用现存筹商印迹不错赢得的最好收尾”。
索哥(Mehtaab Sawhney)比小萨高一年龄,他相同在本科时代就参与了赵宇飞的组合数学课程。
打从本科起,索哥和小萨等于互相的科研搭子,预计密切到索哥主页列出的 70 篇论文里,有 60 篇都带小萨的名字。
而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价等于:
(MIT)的本科生筹商有着悠久的历史和传统,但在论文的质地和数目上,都够不上 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。
当今,索哥也曾领先博士毕业,赢得了哥伦比亚大学的教职,还在本年年头被任命为克莱筹商员。
▲ 小萨索哥和赵宇飞合影,图源:MIT两位知友的协作仍在连接,这也令外界感到期待。他们的导师赵宇飞是这么说的:
他们的特出之处在于总能成见极具技能挑战的事物并加以校阅。
很难用说话轮廓他们的举座树立。
参考勾通:
[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995
[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemerédi's_theorem
本文来自微信公众号:量子位(ID:QbitAI),作家:克雷西、鱼羊,原标题《陶哲轩赵宇飞学生联手攻下组合数学珍摄,23 年来初度冲突》
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